ВИЗНАЧЕННЯ СЕРЕДНЬОЇ КІЛЬКОСТІ КЛАСТЕРІВ НА КВАДРАТНІЙ ГРАТЦІ У ЗАДАЧІ ВУЗЛІВ

Анотація

У даній роботі було показано, як, використовуючи суму по всіх кластерних конфігураціях («граткові звіри»), будувати аналітичні вирази для оцінки кількості кластерів у задачі вузлів на квадратній ґратці. Розроблено методику отримання явних виразів для граничних випадків малої та великої кількості кластерів, що дозволяє детальніше аналізувати поведінку системи в різних режимах. Для забезпечення точності моделювання на всьому інтервалі ймовірностей запропоновано підхід зшивання цих виразів у спеціальній точці. Ця точка визначається як найбільший корінь рівняння, що отримується шляхом прирівнювання відповідних аналітичних формул. Зазначено, що ця точка зшивання відповідає оцінці порогу перколяції. Додатково показано, що отримана оцінка узгоджується з відомим точним значенням, що підтверджує ефективність запропонованого підходу. Знайдено явні аналітичні вирази для найкращих апроксимацій кількості кластерів, показано, що вони дуже добре узгоджуються з результатами симуляції для квадратної ґратки розміром . Знайдено аналітичний вираз найкращої оцінки порогу перколяції . Показано, що найкраща апроксимація порогу перколяції отримується для малих s і вказано, що знаходження  за допомогою підходу, який базується на прямому обчисленні «граткових звірів» є малоперспективним, якщо не будуть використані якісь нові ідеї. У подальшому, спираючись на отримані результати, представляє інтерес аналітично розрахувати інші статистичні характеристики процесу перколяції, такі як розмір перколяційних кластерів і критичні експоненти.